1. Let $\{f_k\}$ be a sequence of Lebesgue integrable functions such that $f_k \rightarrow f$ a.e. with $f$ also integrable. Then $\int |f_k - f| \rightarrow 0 $ iff $\int |f_k|\rightarrow \int |f|$.
2. Let $f$ be Lebesgue integrable over a measurable set $E$. Then for any $\epsilon > 0$, there is a simple function $\phi$ such that $\int_E |f-\phi| < \epsilon$.
Solution.
1.
($\Rightarrow$) By Fatou's lemma,
\[\int \liminf |f_k|\leq \liminf\int|f_k|.\]
Therefore, we have
\[\int |f|\leq \liminf\int|f_k|.\]
One the other hand, since $|f-f_k|+|f|\geq |f_k|$,
\[\limsup\int |f_k| \leq \limsup \int |f_k-f| + \int |f|\]
for all $k$. Because $\limsup \int|f_k-f| \rightarrow 0$ (by assumption), we conclude that
\[\int |f| \leq \liminf \int |f_k| \leq \limsup \int|f_k| \leq \int |f|.\]
($\Leftarrow$) Since $|f-f_k| \leq |f|+|f_k|$,
\[\int \liminf (|f|+|f_k|-|f-f_k|) \leq \liminf \int |f|+|f_k|-|f_k-f|.\]
So,
\[2\int |f| \leq 2\int |f|-\int |f_k-f|.\]
Because $f_k\rightarrow f$ a.e. , We may deduce that $\int |f_k-f| \leq 0$.
Therefore, $\int |f_k-f|=0$ since the integral is nonnegative.
2.
Note that there exist simple functions $g_k\nearrow f^+$ and $h_k\nearrow f^-$.
By 1, given $\epsilon > 0$, there exists $N>0$ such that
\[\int |f^+-g_N| < \epsilon /2 \]
and
\[\int |f^--h_N|< \epsilon /2.\]
Therefore, let $\phi = g_N-h_N$,
\[\int|f-\phi|\leq \int |f^+-g_N|+\int |f^--h_N|< \epsilon/2+\epsilon/2 = \epsilon.\]
小感：第一題的 ($\Leftarrow$) 手法有些技巧，我在小考的時候想破頭想不到怎麼做。
2015年6月4日 星期四
2015年5月31日 星期日
富比尼定理的證明
符號： $I_1=\{(x_1,...,x_n):a_i\leq x_i\leq a_i\}$ 和 $I_2=\{(y_1,...,y_m):b_i\leq y_i\leq b_i\}$ 分別代表 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 的長方形。
定理敘述〔富比尼〕：設 $f\in L(I)$ ，$I = I_1 \times I_2$。則我們有
一、對於幾乎所有 $x\in I_1$, $f(x,y)$ 對 $y\in I_2\subseteq \mathbb{R}^m$ 是可測的，且在 $I_2$ 上可積。
二、$\int_{I_2} f(x,y)dy$ 是 $x$ 方向上的可測函數，且在 $I_1$ 可積。更進一步地說，
\[\int\int_{I} f(x,y)dxdy = \int_{I_1}\int_{I_2} f(x,y)dydx.\]
我們說上述定理對函數 $f\in L(dxdy)$是真的若且唯若 $f$ 符合性質 $\mathscr{F}$。
證明想法：函數$f=f^{+}-f^{-}$。因此不失一般性，假設 $f \geq 0$。但我們知道存在一組簡單函數$\{f_k\}$遞增到 $f$。如果證明每個 $f_k$ 符合性質 $\mathscr{F}$ ，而且 $f_k$ 的極限也有此性質，那就證明了富比尼定理。注意到簡單函數是一組可測集的特徵函數的線性組合，因此需要證明性質 $\mathscr{F}$不會被線性組合破壞，而且可測集的特徵函數符合性質 $\mathscr{F}$。
引理一：設$\{f_k\}_{k=1}^{N}$符合性質 $\mathscr{F}$ ，則線性組合 $g=\sum_{k=1}^N a_kf_k$ 也符合此性質。
證明：略。
引理二：設 $\{f_k\}$ 符合性質 $\mathscr{F}$，而且$f_k\nearrow g$或$f_k\searrow g$，則 $g$也符合此性質。
證明：
設 $Z_k$ 為一個零測度集使得當 $x\notin Z_k$ ，$f_k(x,y) \in L(dy)$。
令 $Z=\cup_{k=1}^{\infty} Z_k$ ，則 $|Z|=0$，且對於所有 $x\notin Z_k$ ，函數$f(x,y) \in L(dy)$。不但如此，由單調收斂定理，對於所有的 $x\notin Z_k$，
\[\lim_{k\rightarrow \infty}\int f_k(x,y)dy=\int f(x,y)dy.\]
如此我們證明了第一部份。
定義
\[h_k(x)=\int f_k(x,y)dy,\]
\[h(x)=\int f(x,y)dy.\]
由題目假設，我們知道 $h_k(x)\in L(dx)$、$f_k(x,y) \in L(dxdy)$且
\[\int\int f_k(x,y)dxdy = \int h_k(x) dx.\]
再次使用單調收斂定理，我們得到
\[\int\int f(x,y)dxdy = \int h(x) dx.\]
且因為式子左邊的值有限，我們得到 $h(x)\in L(dx)$。證畢。
引理三：令 $E$ 為 $G_{\delta}$集，意即 $E=\cap_{k=1}^{\infty}$ 可數個開集的交集。假設 $|G_k|<\infty$，則 $\chi_{E}$ 符合性質 $\mathscr{F}$ 。
證明：
情況一：E是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 開且有界的長方形。那麼$E=I \times J$，其中 $I\in \mathbb{R}^n$， $J\in \mathbb{R}^m$，而且 $|E|_{n+m}=|I|_n|J|_m$。
對於每個 $x$，$\chi_E$是可積的。若定義$h(x)=\int \chi_E(x,y)dy$，則 $h(x)=|J|$ 若 $x\in I$，其他情況 $h(x)=0$。
最後$h(x)$是可測的，且$\int\int \chi_E dxdy = \int h(x)dx$。
情況二：設$E$是一個$n+m$維長方形邊界的子集。顯然 $|E|=0$，因此對於幾乎所有 $x$，集合 \[\{y:(x,y)\in\mathbb{R}^{n+m}\}\] 在$\mathbb{R}^m$裡測度為零。如此一來，如果定義
\[h(x):=\int \chi_E(x,y) dy\]
我們有 $h(x)=0$幾乎處處。所以 $\int h(x)dx = 0$。但另一方面，
$\int\int f(x,y)dxdy=|E|=0$。
情況三：設$E$是$R^{n+m}$裡面部份開的集合，則由前兩個情況和引理一，得到$\chi_E$有性質 $\mathscr{F}$。
情況四：設$E$是$R^{n+m}$裡面的開集。$E$可以寫成部份開區間$\{I_k\}$的聯集，其中任兩相異I_k是互斥的。定義$E_k=\cup_{j=1}^k I_j$，則 $\chi_{E_k}=\sum_{j=1}^k \chi_{I_j}$，由引理一和情況三，$\chi_{E_k}$有性質$\mathscr{F}$，再由引理二，因為$\chi_{E_k}\nearrow \chi_{E}$，我們得到$\chi_E$有性質 $\mathscr{F}$。
情況五：設$E$滿足引理三的假設，且定義$E_k=\cap_{j=1}^k G_j$，則$E_k\searrow E$，由引理二和情況四，證畢。
引理四：設 $Z$為 $R^{n+m}$裡面的零測度集，則$Z$的特徵函數 $\chi_Z$ 有性質 $\mathscr{F}$。如此一來，對於幾乎所有 $x\in I_1$, 集合 $\{y:(x,y)\in Z\}$ 的測度在 $\mathbb{R}^m$ 為零。
證明：
因為 $Z$ 可測，存在 $G_\delta$集 $H$，使得$Z\subset H$。而且兩者的測度相同，意即$|Z|=|H|$。由引理三，我們知道 $\chi_H$ 有性質 $\mathscr{F}$ 。對於幾乎所有 $x$，$\{y:(x,y)\in H\}$測度為零。因為 $\{y:(x,y)\in Z\}\subseteq\{y:(x,y)\in H\}$ ，$|\{y:(x,y)\in Z\}|=0$。如此對幾乎所有 $x$， $\int \chi_Z dy=0$ ，進而可以得到
\[\int\int \chi_Z=0=|Z|=\int\int \chi_Zdxdy, \]
故得證。
引理五：設$E$為$\mathbb{R}^{n+m}$的子集，若$E$可測且測度有限，則 $\chi_E$ 符合性質 $\mathscr{F}$。
證明：
因為 $E$可測，$E=H-Z$，其中 $H$是 $G_\delta$集，可寫成$H=\cap_{k=1}^{\infty}G_k$，$Z$測度為零。所以$\chi_E=\chi_H-\chi_Z$，再由引理一、三、四得證。
證明到此結束，為了方便記憶，這邊做一個小小的整理：
參考資料：Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and integral.
定理敘述〔富比尼〕：設 $f\in L(I)$ ，$I = I_1 \times I_2$。則我們有
一、對於幾乎所有 $x\in I_1$, $f(x,y)$ 對 $y\in I_2\subseteq \mathbb{R}^m$ 是可測的，且在 $I_2$ 上可積。
二、$\int_{I_2} f(x,y)dy$ 是 $x$ 方向上的可測函數，且在 $I_1$ 可積。更進一步地說，
\[\int\int_{I} f(x,y)dxdy = \int_{I_1}\int_{I_2} f(x,y)dydx.\]
我們說上述定理對函數 $f\in L(dxdy)$是真的若且唯若 $f$ 符合性質 $\mathscr{F}$。
證明想法：函數$f=f^{+}-f^{-}$。因此不失一般性，假設 $f \geq 0$。但我們知道存在一組簡單函數$\{f_k\}$遞增到 $f$。如果證明每個 $f_k$ 符合性質 $\mathscr{F}$ ，而且 $f_k$ 的極限也有此性質，那就證明了富比尼定理。注意到簡單函數是一組可測集的特徵函數的線性組合，因此需要證明性質 $\mathscr{F}$不會被線性組合破壞，而且可測集的特徵函數符合性質 $\mathscr{F}$。
引理一：設$\{f_k\}_{k=1}^{N}$符合性質 $\mathscr{F}$ ，則線性組合 $g=\sum_{k=1}^N a_kf_k$ 也符合此性質。
證明：略。
引理二：設 $\{f_k\}$ 符合性質 $\mathscr{F}$，而且$f_k\nearrow g$或$f_k\searrow g$，則 $g$也符合此性質。
證明：
設 $Z_k$ 為一個零測度集使得當 $x\notin Z_k$ ，$f_k(x,y) \in L(dy)$。
令 $Z=\cup_{k=1}^{\infty} Z_k$ ，則 $|Z|=0$，且對於所有 $x\notin Z_k$ ，函數$f(x,y) \in L(dy)$。不但如此，由單調收斂定理，對於所有的 $x\notin Z_k$，
\[\lim_{k\rightarrow \infty}\int f_k(x,y)dy=\int f(x,y)dy.\]
如此我們證明了第一部份。
定義
\[h_k(x)=\int f_k(x,y)dy,\]
\[h(x)=\int f(x,y)dy.\]
由題目假設，我們知道 $h_k(x)\in L(dx)$、$f_k(x,y) \in L(dxdy)$且
\[\int\int f_k(x,y)dxdy = \int h_k(x) dx.\]
再次使用單調收斂定理，我們得到
\[\int\int f(x,y)dxdy = \int h(x) dx.\]
且因為式子左邊的值有限，我們得到 $h(x)\in L(dx)$。證畢。
引理三：令 $E$ 為 $G_{\delta}$集，意即 $E=\cap_{k=1}^{\infty}$ 可數個開集的交集。假設 $|G_k|<\infty$，則 $\chi_{E}$ 符合性質 $\mathscr{F}$ 。
證明：
情況一：E是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 開且有界的長方形。那麼$E=I \times J$，其中 $I\in \mathbb{R}^n$， $J\in \mathbb{R}^m$，而且 $|E|_{n+m}=|I|_n|J|_m$。
對於每個 $x$，$\chi_E$是可積的。若定義$h(x)=\int \chi_E(x,y)dy$，則 $h(x)=|J|$ 若 $x\in I$，其他情況 $h(x)=0$。
最後$h(x)$是可測的，且$\int\int \chi_E dxdy = \int h(x)dx$。
情況二：設$E$是一個$n+m$維長方形邊界的子集。顯然 $|E|=0$，因此對於幾乎所有 $x$，集合 \[\{y:(x,y)\in\mathbb{R}^{n+m}\}\] 在$\mathbb{R}^m$裡測度為零。如此一來，如果定義
\[h(x):=\int \chi_E(x,y) dy\]
我們有 $h(x)=0$幾乎處處。所以 $\int h(x)dx = 0$。但另一方面，
$\int\int f(x,y)dxdy=|E|=0$。
情況三：設$E$是$R^{n+m}$裡面部份開的集合，則由前兩個情況和引理一，得到$\chi_E$有性質 $\mathscr{F}$。
情況四：設$E$是$R^{n+m}$裡面的開集。$E$可以寫成部份開區間$\{I_k\}$的聯集，其中任兩相異I_k是互斥的。定義$E_k=\cup_{j=1}^k I_j$，則 $\chi_{E_k}=\sum_{j=1}^k \chi_{I_j}$，由引理一和情況三，$\chi_{E_k}$有性質$\mathscr{F}$，再由引理二，因為$\chi_{E_k}\nearrow \chi_{E}$，我們得到$\chi_E$有性質 $\mathscr{F}$。
情況五：設$E$滿足引理三的假設，且定義$E_k=\cap_{j=1}^k G_j$，則$E_k\searrow E$，由引理二和情況四，證畢。
引理四：設 $Z$為 $R^{n+m}$裡面的零測度集，則$Z$的特徵函數 $\chi_Z$ 有性質 $\mathscr{F}$。如此一來，對於幾乎所有 $x\in I_1$, 集合 $\{y:(x,y)\in Z\}$ 的測度在 $\mathbb{R}^m$ 為零。
證明：
因為 $Z$ 可測，存在 $G_\delta$集 $H$，使得$Z\subset H$。而且兩者的測度相同，意即$|Z|=|H|$。由引理三，我們知道 $\chi_H$ 有性質 $\mathscr{F}$ 。對於幾乎所有 $x$，$\{y:(x,y)\in H\}$測度為零。因為 $\{y:(x,y)\in Z\}\subseteq\{y:(x,y)\in H\}$ ，$|\{y:(x,y)\in Z\}|=0$。如此對幾乎所有 $x$， $\int \chi_Z dy=0$ ，進而可以得到
\[\int\int \chi_Z=0=|Z|=\int\int \chi_Zdxdy, \]
故得證。
引理五：設$E$為$\mathbb{R}^{n+m}$的子集，若$E$可測且測度有限，則 $\chi_E$ 符合性質 $\mathscr{F}$。
證明：
因為 $E$可測，$E=H-Z$，其中 $H$是 $G_\delta$集，可寫成$H=\cap_{k=1}^{\infty}G_k$，$Z$測度為零。所以$\chi_E=\chi_H-\chi_Z$，再由引理一、三、四得證。
證明到此結束，為了方便記憶，這邊做一個小小的整理：
參考資料：Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and integral.
2015年4月30日 星期四
一個可測集測度的等式
題目（習題3.15）：若 $E$ 為可測集且 $A$ 是 $E$ 的任意子集，試證：
\[|E|=|A|_i+|E-A|_e.\]
解法：
1. $|E-A|_e+|A|_i\leq|E|$
給定$C_A$為$A$中的閉集，注意到$E-A\subseteq E-C_A$，且$E-C_A$可測，所以
\[|E|-|C_A|=|E-C_A|=|E-C_A|_e\geq|E-A|_e.\]
意即對於所有的閉集$C_A\subseteq A$，都有
\[|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
因此\[|A|_i=\sup|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
2. $|E|\leq|E-A|_e+|A|_i$
給定$O$為包含$E-A$的開集，$C$為$E$中的閉集且$|E-C|<\epsilon$。設$C_A=C-O\subseteq A$，注意到$C_A$是閉的且$|C_A|\leq |A|_i$，另外$C-C_A\subseteq O$。，由$Carathéodory$定理
\[|C|=|C|_e=|C-C_A|_e+|C\cap C_A|_e=|C-C_A|_e+|C_A|_e\leq|O|_e+|A|_i.\]
所以對於所有包含$E-A$的開集$O$和$\epsilon>0$，我們有
\[|E|=|C|+|E-C|\leq |O|_e+|A|_i+\epsilon.\]
因此讓$\epsilon\rightarrow0$，並利用$|E-A|_e=\inf|O|$（定理3.6），即得所求。
註：很自然地，\[|E|=|E|_e\leq|E-A|_e+|A|_e.\]
本題給出等號成立的條件：取$A$的內測度而非外測度。
參考書目：Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and integral.
\[|E|=|A|_i+|E-A|_e.\]
解法：
1. $|E-A|_e+|A|_i\leq|E|$
給定$C_A$為$A$中的閉集，注意到$E-A\subseteq E-C_A$，且$E-C_A$可測，所以
\[|E|-|C_A|=|E-C_A|=|E-C_A|_e\geq|E-A|_e.\]
意即對於所有的閉集$C_A\subseteq A$，都有
\[|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
因此\[|A|_i=\sup|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
2. $|E|\leq|E-A|_e+|A|_i$
給定$O$為包含$E-A$的開集，$C$為$E$中的閉集且$|E-C|<\epsilon$。設$C_A=C-O\subseteq A$，注意到$C_A$是閉的且$|C_A|\leq |A|_i$，另外$C-C_A\subseteq O$。，由$Carathéodory$定理
\[|C|=|C|_e=|C-C_A|_e+|C\cap C_A|_e=|C-C_A|_e+|C_A|_e\leq|O|_e+|A|_i.\]
所以對於所有包含$E-A$的開集$O$和$\epsilon>0$，我們有
\[|E|=|C|+|E-C|\leq |O|_e+|A|_i+\epsilon.\]
因此讓$\epsilon\rightarrow0$，並利用$|E-A|_e=\inf|O|$（定理3.6），即得所求。
註：很自然地，\[|E|=|E|_e\leq|E-A|_e+|A|_e.\]
本題給出等號成立的條件：取$A$的內測度而非外測度。
參考書目：Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and integral.
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