題目（習題3.15）：若 $E$ 為可測集且 $A$ 是 $E$ 的任意子集，試證：
\[|E|=|A|_i+|E-A|_e.\]
解法：
1. $|E-A|_e+|A|_i\leq|E|$
給定$C_A$為$A$中的閉集，注意到$E-A\subseteq E-C_A$，且$E-C_A$可測，所以
\[|E|-|C_A|=|E-C_A|=|E-C_A|_e\geq|E-A|_e.\]
意即對於所有的閉集$C_A\subseteq A$，都有
\[|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
因此\[|A|_i=\sup|C_A|\leq|E|-|E-A|_e.\]
2. $|E|\leq|E-A|_e+|A|_i$
給定$O$為包含$E-A$的開集，$C$為$E$中的閉集且$|E-C|<\epsilon$。設$C_A=C-O\subseteq A$，注意到$C_A$是閉的且$|C_A|\leq |A|_i$，另外$C-C_A\subseteq O$。，由$Carathéodory$定理
\[|C|=|C|_e=|C-C_A|_e+|C\cap C_A|_e=|C-C_A|_e+|C_A|_e\leq|O|_e+|A|_i.\]
所以對於所有包含$E-A$的開集$O$和$\epsilon>0$，我們有
\[|E|=|C|+|E-C|\leq |O|_e+|A|_i+\epsilon.\]
因此讓$\epsilon\rightarrow0$，並利用$|E-A|_e=\inf|O|$（定理3.6），即得所求。
註：很自然地，\[|E|=|E|_e\leq|E-A|_e+|A|_e.\]
本題給出等號成立的條件：取$A$的內測度而非外測度。
參考書目：Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and integral.
